fo MÉMOIRE SUR LA COURBURE 
trois coordonnées que Je nomme # , v, 2 refpectivement, & 
fappolons qu'on ait: 
dt—Udu+V dy; dU—U'du+V'dv; dV = V'du+Tdy; 
U, V, U’, V', T étant des fon@ions de v & v. 
Cela pof£ , fi Ton nomme 4’, v', r les coordonnées du plan 
tangent en N, on fait que l'équation de ce plan eft: 
t—Uu—Vy—r—Uu NV. 
Suppofons maintenant que le point N devienne en V 
infiniment près du point À, & voyons ce que devient alors 
l'équation du plan tangent. Pour cela, nommons c, e, frefpec- 
tivement les valeurs que prennent au point À les fonétions 
U’, V', T; de forte qu'en À on ait: 
dU=cdu+edy; dV=edu + fdvy. 
Il eft clair, d’après cela, que l'équation aux différences fecondes, 
qui eft généralement : 
ddi=U dduN ddv+U'di +iN'dudy +7%TdY 
deviendra d dt=c du + 2 edudv+fdv; (A) 
parce que notre furface étant en À tangente au plan BAC, 
ona U—o, V—o. 
Cela pofé, les coordonnées A7 , 7uw,my étant infiniment 
petites, on peut, dans l'équation du plan tangent , leur fubf- 
tituer leurs différences; alors le premier membre de cete équa- 
tion devient d t —U du —V dy, & s'évanouit, puifque géné- 
ralement dt =U du +V dy: quant au fecond membre, il 
faut remarquer que les quantités U , V, étant nulles en A , font 
en infiniment petites; on peut donc auffi leur fubftituer leurs 
différences ; par ce moyen l'équation du plan tangent devient 
#'=u [cdu+edv]+v{[edu+/fdv], dans laquelle les diffe- 
rences du, dv expriment les coordonnées À 7, y du point 
y auquel appartient le plan tangent dont il s’agit aétuellement. 
Les coëfficiens de 7’ & v’ étant infiniment petits dans cette 
équation, il s'enfuit qu'à des coordonnées z’ , v’ , de grandeur 
fuic, répond une ordonnée #’ infiniment peute, c'eft-à-dire, que 
le 
