488 MÉMOIRE SUR LA COURBURE 
du = dx. cof 7; dv =dx. fin. 7; ddt=— dd y. fin. 0: 
Mettons ces valeurs de dx", dy’, d dt, dans l'équation (E), 
elle deviendra: 
d dy = d x [A a? + p cof. x° 
rp fin. « 2 
équation aux différences fecondes de la courbe A N au point A. 
Ce!a pofé, fi nous nommons d flélément de la courbe AN, 
. / LA 
R fon rayon de Courbure en un point quelconque, on a géné- 
d 53 / 1 
ralement R = ——— ; dxétant fuppofe conftant, comme nous 
dxddy 
fommes maîtres de le faire ; mais au point Aona ds=d x. 
: dx 
La valeur de R devient donc R = 243 , Où mettant pour d dy 
fa valeur, il vient 
BE r p fin. à. -, ou HR 2rp Jin. 
r fin. a+ + pcof. x r+p—(r—p) cof 27 
COQ. ET. 
16. Bornons-nous, comme fait M. Euler, au cas où le plan 
coupant eft perpendiculaire fur le plan tangent, & cherchons 
pour lors le maximum & le minimum de R. Le finus de l'angle © 
étant = 1, la valeur de R devient : R — PRRSESSES 
Le numérateur de cette expreflion étant conftant, il fuffc, 
pour avoir le maximum ou le minimum, d'égaler à zéro la 
cifé-enticlle du dénominateur , ce qui donne fin. 2 x = o. 
Donc cof: 2m =+ 1, valeurs qui, mifes lune & l’autre dans 
celle de R, donnent R = r ou R=p, l'une de ces deux 
expreflions convenant au maximum, l'autre au minimum. Ce 
qui fait voir que »0$ deux rayons de Courbure ont la méme 
chofe que le plus grand & le plus petit entre les rayons de 
Courbure des feélions faires dans l’elément de furface par des 
plans qui lux fozent perpendiculaires. 
17. Le réfultat cof: 27 = + 1 donne 7 = 0, ou7= 90°. 
Ce qui démontre cette propriété donnée par M. Euler : que /es 
deux 
