DES SURFACES. 495 
Soit tranfportée l’origine en À ; pour cela, foient par le point 
A les axes Ab, Ac, À d parallèles aux premiers; de forte 
que les coordonnées du point quelconque N, par rapport à ces 
axes, font A f—x'—x;fr=y —y, 1N=z—7 
Du point P foit mence, dans le plan horizontal 8 A c, la 
droite P : 4 qui peut être regardée comme la projcétion hori- 
zontale de PM ; foient menées par le point M la verticale M v, 
& dans le plan vertical M P z l'horizontale M v. Par le point P 
foient menées Px, Py parallèles aux axes Ac, A4, & foi 
prolongée 2 jufqu'à ce qu'elle rencontre en x la droite P x. 
Toutcela pofé, foit l'équation de notrefurface dz=p dx+qd 7, 
& fuppofons qu’on ait de plusdp=mdx+ndy; dq=ndx+fd7, 
on aura de même d7=—p'dx + g'dy'; dp=m'dx + ndy; 
dg'=n dx'+f"dy"; par conféquent, fi l'on fuppofe dx’, d y" 
gonftans, on aura: 
ddz =m dx"+2n dy dx'+[f'dy" (A). 
Maintenant les triangles N M v, M P 2 donnent : 
Ny=MNcf.MPu=tcof.0;Mv=MN fin. MP = t fin. 
Mu=M P fn. MP u=v/fin.0;P u=MP cof. MPu=vcof.n; 
donc P £=Pu—M » =» cof.w—t fin. w. # 
On a de plus par les triangles P:x, P A y; 
Px=Pt/fin.g A c=T[ycof. o — t fin: © ] fin. x ; 
t x =P scof. g À c= [y cof. © — 1 fin. w ] cof. x. 
Py=AP fin. g Ac=ufin.r; Ay=AP cof.gAc=ucof.7; 
donc , à caufe de 
Ni=g—7=Ny4Mau À [x —x=PxtAyft=y —y=ix —P y, 
on aura: 7/—7=1c0f.w+4/in.w (Es 
x'—x=[vcof.0—1fin.«]/fin.7 +ucofir (G), 
yY—y=[vcof.0—tfin.o ]cof.r—u fin. (H),, 
Différencions ces expreffions en traitant x, y, 7 comme 
conftantes, pour exprimer quenous regardons le Ar comme 
fixe, & faifons en forte que les équations que nous aurons n'ap- 
partiennent qu'à l'élément dont il s'agit ici, c'eft-à-dire , aux 
points de notre furface qui font aux environs du-point À. Sup- 
pofons pour cela le point N infiniment voifin du point À , &: 
