DES SURFACES. got 
dans l'une & dans l'autre ; fi donc ce radical étoit nul, ces 
expreflions feroient égales : donc (29) V° + 4 V K°= o eft 
l'équation de la clafle de furfaces que nous cherchons. Ainfi, 
développant U, V &K, & intégrant, s'il eft poffbte, l'e- 
quation aux différences partielles qui en réfulte , on aura la 
folution du problème propofe. 
Mais une remarque fort fimple va rendre cette recherche 
bien moins difficile. Rappelons-nous que le radical qui affete 
les premières valeurs de r &p eft(o) WEZF} +a4ae, & 
qu'äinfi la condition demandée fera remplie fi on fait 
(c—f) +4 e° = 0. Or certe quantité eft la fomme de deux 
carrés;. ainfi elle ne fauroit être zéro, à moins que chacun d’eux 
ne le foit. Nous avons donc les deux équations c= f,e—o, 
au lieu d’une. e = 0 donne (28 )(7—/f)pq—n(p—q")=0; 
d'où l’on tire 771 = al te sm NE Qu fe EP a) 
P9 P9 
valeurs qui, fubftituées fucceflivement dans l'équation c = f, 
anne DEV | CRE Nanes veine QU PAU 
donnent: = es = 5 mais fouvenons-nous que 
LUE nEU/(ahp NE 7 d/a nésbpr NO \ 
m=(ir);ne ()=(rs UE (52); nos équa- 
dp_ gdg ,dg_ pd 
tions deviendront : Di Ti Re nest dans la première 
defquelles les différences dp, d q font prifes en ne faifant varier 
que y, tandis que, dans la feconde, on ne fait varier que x; 
nous pouvons donc intégrer ces équations comme à l’ordi- 
naire, pourvu que nous complérions l'intégrale de la première 
par une fon&ion de x, & celle de la deuxième par une fon@ion 
de y. Nous aurons par ce moyen :p° X = 1 +939 Y=1+p", 
X étantune fonétion de x, & Ÿ une fonction de y. Nous tirons 
ER En “ae oi 
, XY—1 X Y —:1 d y ax 
effectuant les différenciations indiquées , & réduifant, il vient : 
dx d'Y 
——— = , > dans cette égalité, les fon&ions 
dx(X +1} dy(Y+:} 
de x ne font point mêlées avec les fonctions de j ; par confé- 
quent elle ne fauroir avoir lieu , à moins que les deux membres. 
