$04 MÉMOIRE SUR LA COURBURE 
dp cette valeur , & réduifant , nous avons r + p=0,Our=—p. 
Donc, la furface de moindre étendue entre [ès limites à certe 
propriété’, que chaque elément a fes deux rayons de Courbure de 
figne contraire Ë egaux. 
Mettant dans l'équation r — — b pour r & p leurs valeurs, il 
vient U=o,oum(r+g )—2npq+f{(1+p")=0o, équa- 
tion demandée de la furface en queftion , qui, traduite ainfi en 
différences partielles 
dd? dz \? dd? d?\/dz dd7 dre\ tue 
GC CGIE + TE 
eftla même que celle qu’on trouve par les méthodes ordinaires 
des maxima & minima. 
36. On ne fait point intégrer cette équation , on ne connoît 
même, que je fache, qu’une feule furface qui y fatisfafle , favoir, 
le plan, dans le cas où le périmètre par lequel doit pañler la 
furface eft une courbe plane. Je vais donner deux furfaces autres 
que le plan, qui jouiflent de la propriété mentionnée. 
37. Une de ces furfaces fe trouve en fuppofant que l’'équa- 
donm(1+g)—2npg+f(1+p")=0 provienne des deux 
fuivantes mg — 2npq+fp —0; m+/f=0. On fait que la 
première de ces équations eft celle qui appartient à toutes les 
furfaces engendrées par le mouvement d’une droite horizon- 
tale, comme l’a démontré M. Monge; ainfi la furface qui 
fatisfait aux deux à la fois, eft entre celles engendrées par le 
mouvement d’une droite horizontale, celle qui a de plus la 
propriété d’être de moindre étendue. 
La deuxième équation donne m = — fou f = — m ; fubfti- 
tuant l’une & l’autre valeur dans la première équation, on obtient 
les fuivantes : /{p*—q")—2npq=0;&m(q—p)—2npq=0; 
qu'on peut mettre fous cette forme : dg(p°—q")—2pq dp=o, 
& dp(qg'—p)— 2pgdg=—o, les différences dans la pre- 
mière étant prifes, en ne faïfant varier que y, & dans la feconde, 
en ne faifant varier que x. 
Ces 
