538 MÉMOIRE SUR LES DÉVELOPPÉES, 
Nous avons vu que la courbe My étoit la plus courte que 
lon püt mener fur la furface courbe entre fes extrémités, & 
par conféquent la même que celle pour laquelle M. Jean 
Bernoulli, tome IV de fes Œuvres, donne l'équation fuivante : 
[ds+d®]Tddy=[Tdydz;-3ds ]dd7. 
I! eft facile de ramener cette équation à la nôtre, car la lettre 
T exprime la fous-tangente QT de la feétion repréfentée par 
EMS dans notre feure, & l'on a Q T & par conféquent 
sh PACE) (ais SN ce d? 
de “3e (4) ; d’où il fuit que UE (£ , & que notre 
équation coïncide avec celle que M. Bernoulli a trouvée par 
une méthode bien diférente. 
XXIX. 
Ainfi, tant que la furface fera quelconque, la détermina- 
tion de la ligne la plus courte entre fes extrémités que l’on 
puifle mener fur cette furface, ou de celle que traceroit un 
fil plié librement, dépend de l'intégration d’une équation 
aux différences fecondes, qui peut être plus ou moins difficile 
à traiter fuivant la nature de la furface , & dans laquelle l'incé- 
gration introduira deux conftantes arbitraires, par le moyen 
defquelles on pourra faire que la courbe farisfafle à deux condi- 
tions particulières : par exemple, fi l'on cherche une Deve- 
Joppée d'une courbe, on peut déterminer ces deux conftantes 
de manière que la Développée pale par un point de la fur- 
face, & que fa tangente en ce point pañle par la développante. 
Mais, dans la recherche des Développées , la furface n'eft pas 
quelconque ; nous avons vu qu’elle étoit toujours développable. 
Cette particularité , introduire dans l'équation différentielle , la 
rend intégrable, du moins aux différences finies , indépendam- 
ment de la nature particulière de la furface développable. 
Néanmoins ce n’eft pas là la marche que nous fuivrons ; nous 
allons partir d’une confidération qui eft encore plus fimple. 
