48o RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES 
Exemrce QuaTRIÈME. Soir l'équation dy=dx:Vi —%, 
où y exprime l'arc dont le /in. eft x, intégrant en logarithmes ima- 
ginaires, On trouve yV—1 + conf. =L(xV=r Vox ). Juf- 
qu'à préfent on a toujours fuppolé, pour décerminer la conftante, 
que y & x s'évanouifloient en même temps; & par conféquent 
on a regardé l'équation y V=r=L(cof y+ fin. yV—= 1), 
comme exprimant la relation générale entre l'arc & le nus. 
Or cela n'eft point exat, puifque, fi l'on fuppole Y=2nm; 
n étant entier, on trouvera 2 n7V—1—05 & fi on fuppofe 
y=(2n+1)7, On trouvera (2n+1 )xV— t—=L(—:), 
ce qui ne vaut pas mieux. {l faut, pour obtenir la véritable rela- 
tion entre l'arc & le fénus, faire la conftante= —2n7 VE 
tant que y eft entre 2 n 7 & (2n+H1)7, & la fare 
=L(—:1) — (an n)ir Vu quand y eft entre 
(2n+i)r&2(n+s)7; elle neft donc pas fixe, 
Ainfi, Leéteur, fi vous ne convenez pas que les équations 
que je propole vérifient les différentielles, vous conviendrez 
du moins que, pour obtenir les folutions générales des pro- 
blèmes , il faut rejeter les équations que vous appelez inté- 
grales complettes, & y fubfficuer celles que jindique, aux= 
quelles vous refufez cette propriété. 
CorozLaire. Puifque la fonétion À“ [x] eft la compo- 
fante des fonétions arbitraires qui entrent dans l’équation inté- 
grale précédente, il eft bon de faire voir comment on pourra 
la déterminer dans quelque cas. 
Exemrce PREMIER. Soit À [x] — a + p x,.on aura 
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À [x]=a+pa ee CT à NE 
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