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et en résolvant l'équation X = , on aura toutes les valeurs de x 

 qui satisfont à l'équation Cf)(.r, ij, z,. . . etc.) = 0. De même, si 

 après l'élimination des autres («— l) inconnues, on parvient à 

 une équation en y de la forme F, = ; en cherchant le plus grand 

 commun diviseur entre F= et F, = 0, et en l'égalant à zéro , on 

 obtiendrait toutes les valeurs de y qui résolvent l'équation pro- 

 posée; et l'on voit que la même chose aurait lieu relativement aux 

 autres inconnues. 



Il est clair que la même méthode pourrait s'appliquer à trouver 

 directement toutes les solutions rationnelles de l'équation à une 

 seule inconnue 



ax" -H Zij?""' -I- cx"~'^ .... -t-jwo,- -H y = ; 



mais dans tous les cas cette méthode ne fournit que les racines 

 inégales : cependant les racines égales peuvent être déterminées de 

 la manière suivante. 



Nous supposerons , pour simplifier le problème , qu'il s'agisse 

 d'une équation à deux inconnues seulement , puisque la méthode 

 est absolument la même lorsqu'il y en a un plus grand nombre. 



Étant donnée l'équation 



Cf{x,y) — 0, 



à résoudre en nombres rationnels; si à une valeur rationnelle de 

 y = b, il en correspond n également raponnelles de .r = a (» étant 

 plus grand que l'unité); en différenciant l'équation proposée par 

 rapport à x, et cherchant le plus grand diviseur commun A entre 



dx 



, et Cp(.r,y), 



on obtiendra A = F (-^^ y ), et il y aura un reste R =y(y ), qui ne 

 contiendra plus x, et qui par supposition devra se réduire à zéro. 

 Si l'on fait donc/(?/) = , on en déduira la valeur ratioiuielle de 

 y =Zi, lorsque cette valeur existe : et substituante pour y, on aura 



A = F(cr, é) = {x-ay-\ 



