THÉORIE DES NOMBRES. 15 



et on obtiendra les valeurs multiples de x que l'on cherchait. 



Ce que nous avons dit dans l'hypothèse que n valeurs de .r = a 

 correspondent à une valeur dey = è, s'applique aussi lorsqu'à 

 une valeur de j? = A, il en correspond m de y = B; pourvu 

 que l'on change x en y , et que l'on effectue les opérations dans 

 un ordre inverse. 



Si R était zéro identiquement , nous aurions l'équation 



A = ¥{œ,y) = o = (a:-^[y])-\ 



qui devrait exister en même temps que l'autre <p {x,i/) = o, et 

 qui en serait un facteur : l'on ne pourrait donc pas déterminer 

 la valeur dey = b; mais en divisant le polynôme <p[a:,y)nsr A, 

 le quotient Q. contiendrait une seule des n racines dex = X (y), 

 et en cherchant le plus grand commun diviseur entre A et Q 

 on aurait l'équation jr — .^j/ (y ) = o. 



Nous avons supposé qu'il y avait seulement n valeurs de x = a 

 qui correspondaient à la valeur de y — b , mais si outre celle-là il 

 y avait yw valeurs dcx = c,r valeurs dea: = e, etc., il serait facile 

 d'appliquer à ce cas la méthode déjà indiquée. 



Soit proposée , par exemple , l'équation 



.r^ — ïxy -H 2y* — 1 = o , 



dans laquelle on veuille savoir si , parmi toutes les valeurs de y 

 qui la résolvent, il y en a une égale k b , et telle qu'il lui en 

 corresponde n>\ de a; = a : k cet effet on différenciera l'équa- 

 tion proposée par rapport à x, et l'on aura o: —y = o : puis en 

 cherchant le plus grand commun diviseur entre ces deux équa- 

 tions, on aura x —y pour quotient, et iy^ — y^ — \ = o pour 

 reste: et comme cette dernière équation est satisfaite en faisant 

 y = 1 ; si l'on substitue cette valeur dans l'équation 



-, x^ — ixy -^ -îy^ — i — , 



on aura 



x^ — 2.r H- 1 = {x — 1 )^ = ; 



