16 THÉORIE DES NOMBRES, 



et par conséquent l'équation 



x^ — ixy H- 2y' — 1 = 

 est telle que deux valeurs de 07 = l correspondent à la valeur 



On voit que si Téquation proposée avait n inconnues , en cher- 

 chant les racines égales , on la réduirait toujours à une équation 

 à 72 — 1 inconnues , qui pourrait être traitée par la méthode 

 générale. 



Il résuite de ce qui précède que toute la théorie des nombres 

 se réduit à un problème d'élimination , puisqu'il est clair qu'il 

 suffiiait de pouvoir éliminer toutes les inconnues entre les 

 équations 



X=:0, F=o, Z = o,. . . .etc. , <^{x,y, z,. . , .etc.) = o, 



que nous avons trouvées précédemment , pour avoir l'équation de 

 condition 



F= 0, 



d'oîi dérive tout le reste. L'élimination générale entre ces équa- 

 tions n'est pas encore connue ; cependant elle peut s'effectuer au 

 moyen des intégrales définies , comme nous espérons le montrer 

 dans une autre occasion ; nous traiterons alors des équations in- 

 déterminées en général , et nous montrerons de quelle manière il 

 faut opérer dans tous les cas ( voyez la note II à la fin de ce mé- 

 moire ). Quant à présent , nous nous bornerons à considérer 

 les équations dans lesquelles l'une des inconnues est élevée 

 seulement au premier degré , et que M. Gauss a appelées 

 congruences , et nous déduirons d'une seule formule tout ce qu'on 

 savait sur ce genre d'équations , et beaucoup d'autres choses nou- 

 velles. Cela nous fournira l'occasion de montrer un exemple des 

 simplifications remarquables dont notre méthode est susceptible , 

 lorsqu'on l'applique aux cas particuliers , et des artifices d'analyse 

 dont il faut faiie usage pour résoudre ce genre de problèmes. 



