THÉORIE DES NOMBRES. 17 



Etant proposée l'équation 



(3) <p{x,.i/, z .... etc.) —pu = 0, 



(dans laquelle, <p est une fonction quelconque des nombres entiers 

 et positifs 



X, y, z, ,. . . etc., 



p est un nombre entier quelconque , et u est un nombre entier 

 positif ou négatif) il est clair d'abord que s'il existe des valeurs 

 de 0.-, 1/, z, ... etc., qui résolvent l'équation proposée, et qui 

 soient plus grandes que jo, il y en aura aussi qui seront comprises 

 entre zéro etp; ce seront ces dernières valeurs que nous considé- 

 rerons toujours dans ce qui suit , à moins que nous n'indiquions 

 spécialement le contraire. 



A présent l'on sait que l'équation (s) équivaut à la congruence 



<p{a:,i/,z, etc.) = 0, [mod.^]; 



en supposant, pour simplifier le problème , que;» soit un nombre 

 preraier, que cette congruence ne contienne que l'inconnue x, et 

 qu'elle soit de la forme 



X = 0." -H A.r"- -H Bx"-' . . . . P.r -H Q = o [mod.p], 



si elle a une racine jr = a, on pourra toujours la mettre sous la 

 forme 



{^- a)X, = 0, [mod.;»]- 



Xj étant un polynôme entier en a: du degré m — l : i\ résulte de 

 là que la congruence X = o [mod.p.] ne peut avoir que 



m racmes, et que si elle a les m racines entières 



a, b, c, d, e,f, etc., 

 - on pourra la mettre sous la forme 



x"-j^A.r'»-'+ B.r"*-= . . . . + p^-H Q 



= (^-«)(:^-*)(x-c)(.r-c?)(.r-e)(.r-/)...etc. [mod.p]- 



