22 THÉORIE DES NOMBRES, 



sont comprises parmi celles des congruences 



X = .r(x-l)(^-2) {^-[p-i]) = 0. [mod.;j] 



Y = y(y-l)0-2) • • • • i!/-[F-^]) = 0' [mod.;^] 



Z = z{z-l){z-i) (•^-[i»-!]) = 0. [mod.p] 



. . . . , etc. , 



et qu'en éliminant toutes les variables entre 



<^=o, X = o, Y=o, Z=o, etc [mod.^] 



on obtiendia une congruence de condition entre les coefficients 

 de Cp ^ ; c'est-à-dire qu'au lieu d'avoir une équation de condi- 

 tion de la forme F = comme pour les équations , on aura la con- 

 gruence F=o [mod.^];et la fonction des coefficients, qui aurait 

 dû être zéro dans le premier cas, devra être divisible par p dans 

 le second. 



Lorsque p est un nombre premier, le problème se simplifie 

 beaucoup; car, par le théorème de Fermât que nous avons 

 démontré, on a 

 x{a: — iX-^— 2) (•^— [/*— l]) = '^'' — -^ = 0,[mod./7] 



yly— i)(y— 2) • • • ■ (y— b— i]) = y'— y = «• [mod.;.] 



etc. 



et il faudra seulement éliminer les inconnues entre les congruences 



cp^O, a:'' —x'^0, y'' — J/ ^0, z''—z^ 0, etc.... [mod.p]. 



Soit proposée , par exemple , la congruence 



(5) ax — 3 = 0, [mod.p] 



dans laquelle a, b, p, sont des nombres entiers quelconques, et 

 a et p sont premiers entre eux; si l'on fait a: =^ bz , on aura la 

 congruence 



az — 1=0, [ mod.p] 



qui étant résolue, l'autre (s) le sera aussi. Supposons 



P =Pi-P2-Pî P„ 



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