3 6 THÉORIE DES NOMBRES. 



et, pour avoir ia somme des racines, il fliudra intégrer cette for- 



nnilc depuis /J = 0, jusqu'à A = c. 



A présent nous savons d'avance que si a et c ont un facteur 

 commun qui ne divise point />, la congruence (l3) n'est pas ré- 

 soiubie ; et comme si ce facteur commun divise /> aussi , on pourra 

 toujours i'ôter, on supposera que a, b et c n'ont point de commun 

 diviseur: alors, en donnant à A successivement toutes les va- 

 leurs 



J = 0, 1, 2, 3 c — 1, 



le premier terme se présenterait sous ia forme | et les autres au- 

 raient tous une valeur déterminée; mais pour éviter l'indétermi- 

 nation du premier terme, on l'intégrera séparément, et l'on aura 



— S .r cos = — Hi X = — - — 



c c r %c 



et l'on intégrera entre les limites 



^ = 1, ^ = t-; 



cela peut se faire d'abord par les tables des sinus et cosinus , en 

 calculant successivement les fonctions qui se rapportent aux va- 

 leurs 



A = \, A = -î, A =: 3, 4 — c — 1 ; 



et l'on aura, de cette manière, résolu complètement le problème: 

 mais, pour obtenir plus de généralité, on pourra, au moyen des 

 expressions connues , transformer les cosinus et les sinus des mul- 

 tiples de l'aie en puissances des fonctions semblables de l'arc simple , 

 et l'on aura une formule générale qui exprimera la somme clier- 

 chée. 



Si l'on voulait la plus petite des solutions entières et positives 

 de la congruence 



a.r -h ^ ^ 0, [mod. c] 



