4 THÉORIE DES NOMBRES. 



premier de^é par rapport à l'une des inconnues , et que M. Gauss 



il ap|)elecs congruetices. 



En partant de notre principe général, nous démontrons les théo- 

 rèmes de Fermât et de Wiison, et beaucoup d'antres; puis nous 

 établissons une formule qui renferme toute la théorie des con- 

 gruences, et qui la ramène aux fonctions circulaires. 



En considérant les congruences du premier degré, nous trou- 

 vons l'expression générale des racines de l'équation indéterminée 

 du premier degré en fonction des coefficiens ( ce qui n'avait jamais 

 été fait ) ; et nous montrons qu'elles en sont une fonction trigono- 

 métrique. Ensuite, en passant aux congruences du second degré, 

 nous retrouvons directement tous les théorèmes connus sur les 

 résidus quadratiques. 



Notre formule fondamentale , en établissant un rapport singu- 

 lier entre les solutions des congruences et les fonctions circulaires, 

 fournit le moyen de résoudre directement les équations à deux 

 termes. M. Gauss, qui a découvert le premier cette résolution par 

 une méthode très-ingénieuse, et Lagrange, qui l'a ensuite ramenée 

 à sa théorie généi'ale des équations, ont supposé que l'on connaissait 

 toujours les racines primitives des nombres premiers. La méthode 

 que nous exposons dans ce mémoire est indépendante de cette 

 recherche, et d'ailleurs elle est beaucoup plus simple que celles 

 qui ont été trouvées par ces deux grands géomètres, et qui exigent 

 de très-longs calculs pour être mises en pratique. 



On applique les mêmes principes aux congruences des ordres 

 supérieurs , à la résolution des équations d'où dépend la divi- 

 sion de la lemniscate en parties égales, et à beaucoup d'autres 

 recherches : les exemples que nous avons choisis sulfisent pour 

 montrer de quelle manière notre méthode doit être modifiée dans 

 les cas particuliers. 



En partant des formules que nous donnons ici, nous avions 

 trouvé précédemment une expression numérique de la somme des 

 diviseurs d'tm nombre quelconque : nous indiquons à présent une 

 éqqation d'où l'on peut déduire la manière de trouver directe- 



