THÉORIE DES NOMBRES. 3 



et nous montrons de quelle manière, en diminuant successivement 

 toutes les inconnues, on obtient une équation de condition, qui 

 doit être satisfaite , afin que l'équation proposée soit résoluble. De 

 sorte que la théorie des nombres rentre de cette manière tout à 

 fait dans le domaine de l'algèbre ordinaire. 



L'équation de condition que l'on trouve est toujours une fonc- 

 tion des coefficiens de l'équation que l'on veut résoudre, et de la 

 limite qu'on attribue aux inconnues ; de telle manière que lorsque 

 cette limite est l'infini, on obtient une suite infinie dont il s'agit 

 d'avoir la somme , et que l'on peut représenter par uae intégrale 

 définie à l'aide des formules de M. Fourier; mais la valeur de cette 

 intégrale est difficile à calculer : pour faciliter cette recherche, il 

 faut recourir à des artifices particuliers, et considérer des inté- 

 grales définies dont la valeur soit indépendante des constantes 

 qu'elles renferment. Mais comme le but de ce mémoire est seule- 

 ment de montrer le principe général de notre théorie, nous n'avons 

 pas cru devoir exposer à présent ces développemens. C'est par la 

 même raison que nous n'avons fait qu'indiquer ici les autres lor- 

 mules qui étaient nécessaires pour compléter ces recherches. De ce 

 nombre sont une formule générale d'élimination , et des expressions 

 qui servent à développer un polynôme élevé à une puissance quel- 

 conque , et à obtenir les fonctions symétriques d'une équation al- 

 gébrique. Ces formules, d'une forme très-simple, ont l'avantage 

 qu'il n'est pas nécessaire , pour les appliquer aux cas particulieis , 

 d'effectuer aucune opéiation analytique; et il suffit d'y substituer 

 les valeurs des coefficiens des équations proposées. Nous les avons 

 trouvées en considérant une classe particulière d'équations aux dif- 

 férences dont l'ordre augmente avec la variable; et elles ont quel- 

 que ressemblance, dans la forme, avec l'intégrale , trouvée par La- 

 grange, de l'équation linéaire aux différences du premier ordre. 

 Cependant, pour qu'on ne puisse pas croire que la méthode 

 que nous proposons n'est pas susceptible d'apphcation , et pour 

 montrer de quelle manière nos formules se simplifient dans les 

 cas particuliers , nous avons considéré les équations qui sont du 



