2 THÉORIE DES NOMBRES, 



réduisant à l'analyse ordinaire ; et la bonto avec laquelle cette illustre 

 Académie a daigné accueillir nos travaux précédens nous a engagé 

 à lui présenter un essai sur cette matière, pour lequel nous réclamons 

 son indulgence. 



Nous reproduisons au commencement de ce mémoire des tor- 

 mules que nous avions trouvées précédemment, à l'aide desquelles 

 on peut exprimer le nombre des solutions d'une équation indéter- 

 minée, et la somme des racines de cette équation , en fonctions de 

 ses coelFiciens. Ces fonctions peuvent être dévelojjpées en séries 

 convergentes par les puissances de la variable, de manière à avoir 

 toujours une valeur approchée; et nous donnons ici une formule 

 très-simple pour effectuer ce développement. Ensuite nous expo- 

 sons notre théorie générale des équations indéterminées. 



En cherchant à mettre en équation les problèmes numériques, 

 nous avons observé qu'étant proposée une équation à plusieurs in- 

 connues à résoudre en nombres entiers ou rationnels, le problème 

 n'était indéterminé que parce que l'on négligeait d'en traduire 

 toutes les conditions en analyse. En le déterminant complètement, 

 on trouve toujours un nombre d'équations qui surpasse de funité 

 celui des inconnues ; de sorte qu'on arrive à ce résultat assez remar- 

 qiiable, (jue toutes les équations appelées jusqu'ici indéterminées 

 sont plus que déterminées, et qu'il existe pour chacune d'elles 

 une équation de condition qui doit être satisfaite, afin que la ré- 

 solution en soit possible. On explique de cette manière la contra- 

 diction que l'on observe , entre le nom d'équations indéterminées, 

 et le fait qui montre que le plus souvent elles sont insolubles. Ce 

 résultat, auquel on parvient avec la plus grande facilité, et 

 (jue nous avons annoncé pour la première fois dans les Mémoires 

 de l'Académie de Turin, avait cependant échappé à Euler, qui 

 croyait que les équations indéterminées devenaient plus que 

 déterminées seulement lorsque le nombre des formes, auxquelles 

 des fonctions données des variables devaient pouvoir se réduire, 

 surpassait celui des inconnues. Nous déduisons de la nature même 

 du problème les équations qui en expriment toutes les conditions; 



