44 THÉORII-; DKS NOMBRES. 



coiigriience x^ —1=0 [mod. n'] a deux soliitioiKs; mais rautn- 



.r'' -t- 1 ^ [mod. w] n'est pas résoluble, alors 011 aura les deux 



é(|uations 



ti — \ -\- 



2 ( s cos -+- '2 ( S cos 2 -— j 



-2(Ssm2— ) - 2(Ss>n2— ) 



L cos 2 j -t- 2( S cos 2 —^ \ 



5111 I ~(- 2 ( S ^,111 2 -— j 



d'où l'on déduira en les combinant avec les deux équations (l 6~i 



■lu ^r. Il — 1-1-2 



«u^ 



ïfluT 



(1 8 bis) S cos 2 -^ =r — I; S sin —^ :=z d= j /„ 



S cos 2 ^ — -; X/ sin rz: _i_ j i/„ , 



en intégrant partout entre les limites 



y, n =i p -V- I =- 



1 



2 



Ces sommations remarquables ont été données pour la première 

 fois par M. Gauss dans ses Recherches arithmétiques , où il les a 

 déduites de sa théorie de la division du cercle, et cet illustre auteur 

 les a trouvécssi intéressantes, qu'il a repris ce sujet dans un mémoire 

 particulier pour les démontrer de nouveau. Mais les deux démons- 

 trations que M. Gauss a données t^ les seules qui soient connues 

 jusqu'à présent) sont très-longues et sont la conséquence des arti- 

 fices particuliers dont cet illustre auteur s'est servi , sans dériver 

 d'une méthode directe ; au lieu que la manière dont notis y sommes 

 parvenu est directe et très-générale , puisqu'elle peut conduire à 

 beaucoup d'autres formules semblables. Cependant comme ces ex- 

 pressions renferment tout ce qu'on sait sur les congruences du 

 second degré; nous allons reprendre, pour la simplifier, la dé- 

 monstration que nous venons d'exposer. 



