46 THÉORIE DES NOMBRES. 



et i)ai conséquent cette équation se décomposera dans les deux 



aiiti-es 



1 n := cos — S cos .... -t- cos 2 — 1 cos 2 . . . 



Ott . 0.r-yr . n . txhr 



sni — X sin .... -H SU) 2 — S sin 2 



II fiiul observer ici qu'en laissant de côté le premier terme de 

 chaque série, ? doit prendre toutes les valeurs 



1,2,3, n— 1, 



dont la moitié seront des résidus, et l'autre moitié des non-résidus: 

 si ion suppose / r= «^ = à un résidu quelcontiue, on aura 



COS 2 — S cos 2 zzz cos 2 s cos 2 



zir cos 2 S cos 2 



et ion aura de même , si t est un non-résidu b^ , 



cos 2 E cos 2 = cos 2 1 -)- 2 s cos 2 -, — 



" « n \ ^ ' 



en intégrant entre les limites 



X zz: , a- nr 7i , u ^z: 1 , ii ^ 2 ?» -i- 1 z:z: p ->~ 1 ; 

 on voit donc que la valeur de 



cos 2 — £ cos 2 



ne saurait être que l'une de celles-ci 



cos 2 — ( 1 -t- 2 S cos 2 I ; ( 1 -I- 2 S cos 2 1 cos 2 — ; 



et qu'elle dépendra du nombre t; à préselit comme parmi les 

 nombres 



1, 2, 3 w — 1, 



