THÉORIE DES NOMBRES. 49 



et la valeur de N restera la même quand on changera-f-e en — e, 

 parce que dans cette expression,, il n'y a que des cosinus : donc si 

 la congruence 



^'^ -I- e ^ [mod. ?^] 



est résoluble, celle-ci 



x^ — 6^0 [mod. n] 



le sera de même; et si la congruence 



^^ -h e ^ j[mod. «] 



n'est pas résoluble, l'autre, 



x"^ — e ^ [mod. w] 



ne le sera pas non plus. 



On voit que si n était de la forme im -h 3 , la formule précé- 

 dente (l 9) se réduirait à 



« N = — ( 2S S sin ^^ -H2S„Ssin !^) -H ,z 

 parce que dans ce cas on aurait 



l-i-2C^0; l-+-2C„=0; 

 et on tirerait de là, si e était un résidu, 



„_ (2S^+2S„^) =n^-=n — ^n — \n = Q; 



et par suite N = 0. 



En supposant toujours que e est un résidu, et en changeant dans 

 nos formules -t- e en — e, on aurait 



N =r 2; 

 On déduit de là que si la congruence 



.r'' -H e = [mod. 4 OT -H 3] 



5. , , 



