THÉORiE DES NOMBRES. 51 



H-(=p/±;) {^/-„) (-|±i/ï;) z=n-'±n 



On voit ici que N ne peut avoir que deux valeurs 



N = w -*- 1 ; N =: 71— 1 : 



et que par conséquent la congruence 



x^ -t- Al/ -4-6=0 {mod. w] 



est toujours résoluble, lorsque n est un nombre premier. Lagrange , 

 qui a démontre le premier ce théorème , n'a pas cependant déter- 

 miné le nombre des solutions comme nous l'avons fait. Cette 

 proposition sert de base à la décomposition d'un nombre quel- 

 conque en quatre carrés, et l'on pourrait en déduire d'autres 

 conséquences que nous sommes forcé de laisser de côté. 



Nous avons vu que lorsque w^ 1p-hl est un nombre pre- 

 mier de la forme 4 m-\-l, on a.: 



S I cos H Y—t sm — j 



:= s cos 2 "Jîl -H /=r s sin 2 "-^ =:-l±: j/— . 



2j I cos H]/_i sni — 1 



*„ 



=: S cos 2 i-/ZTSsni2 — =— |zp|/V. 



en intégrant entre les limites 



M zr: 1 , u = 2W2H-1: 



il résulte de là que si t est un nombre entier quelconque plus petit 

 que n, on aura toujours 



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