THEORIE DES NOMBRES. ^ 53 



donc les deux équations X=o, X^ = , auront seulement \esp 

 racines communes, 



?"", r"^-, 7'«3^ j-ay. 



et en cherchant le plus grand diviseur commun A entre X 

 et Jf, on aura une équation du degré/? = -^^^ qui contiendra 

 toutes les racines de la forme x = r"-, «„ étant un résidu quel- 

 conque, tandis que l'équation^ = A, = , comprendra toutes 

 les racines de la forme x — »■*», ^„ étant un non résidu quelconque. 

 Cette manière d'opérer la décomposition de l'équation ^^=0, 



est directe et beaucoup plus simple que celle proposée parM.Gauss : 

 on verra dans la suite qu'elle peut s'étendre à tous les cas en 

 général. 



Il fiiut observer ici que lorsque re = 4 m -+- 1 , les coefficients des 

 diverses puissances dé x dans l'équation A = 0, seront fonctions 

 en général de — j ± j /V; tandis que les coefficients des mcmes 

 puissances dans l'équation A,= 0, seront des fonctions semblables 

 de — ^=p~y'~. Cela est évident, car si l'on fait 



A = .r'' -H A, xp-^ -+■ A., .r?-2 r= A^ -H 0, 



A, = j;" -(- B, .r"-! s- B., .z-''-2 =B^-t-o, 



et que l'on appelle P^ la somme des puissances r"" des racines de 

 l'équation A = , et P', la somme des puissances r""" des racines 

 de l'équation Ai = 0, on aura toujours, lorsque r n'est pas un 

 multiple de ?i, 



P = — - -^- -1/ — ' 



P,+ PV = -I: 



et il n'y aura par conséquent entre P, et P', d'autre différence que 

 dans le signe de /~ ; toutes les autres choses étant les mêmes : 

 donc si l'on suppose 



A = Xj -H Y2 /V 



