5 4 THÉORIE DES NOMBRES, 



on aura 



Ai -— -^2 — ï 2 V 1 ' 



et par conséquent, 



On trouvera de fa même manière que, si n est de la forme 

 4 m -I- 3 , on obtient 



et on aura en général, lorsque n est un nombre premier, 



Xj et Y, étant des fonctions rationnelles de .r. 



En égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans l'é- 

 quation 



[■^' -+- U -*- W±n):c^' -*- (t- -^ -Z>^±^)-^^' ^ •^^'^•) 

 [x" -H (1 -1/^).^"-' + (^ - -f 1/^)^-^°- ^ etc. ) 



-H j;" -t- .r -H 1 := , 



on trouvera aisément que les coefficients numériques des deux fac- 

 teurs 



Xa -H Yo ]/-|-n , Xj — Yg y ±ji , 



ne peuvent admettre d'autre dénominateur que le nombre 2, d'où 

 l'on déduira l'équation 



M^)=X^°^-Y/^o, 



qui aura toujours lieu lorsque n est un nombre premier, et dans 

 laquelle Xj et Yj seront des polynômes entiers en x, à coefficients 

 entiers. Ce théorème a été découvert par M. Gauss , qui l'a dé- 

 duit de sa théorie des équations à deux termes; il sert à prou- 



