THÉORIE DES NOMBRES. 55 



ver que l'équation -^—^= peut toujours se décomposer en deux 



autres du degré —^ lorsque n est au nombre premier. 



Pour appliquer ce théorème à la théorie des congruences, nous 

 observerons que , d'après ce que nous avons démontré , si n est un 

 nombre premier de la forme ar-\- 1 , la congruence 



■*'' — ^ ~ [mod. m] 



aura toujours a solutions; et comme si a est un nombre premier 

 impair, on a aussi 



4 (a:°-l) = (.r-1) {Z'±al]'), 



il s'ensuit que ± a est résidu quadratique de ar—l, où il faut 

 prendre le signe -t-, si a est de la forme 4 /«-i- 1 , et le signe —, si 

 a est de la forme 4 w«-t- 3 . 

 Nous avons trouvé 



^ r = — 1 d=-/ „ lorsque n = 4 )n-h 1, 



:=1 



^ r =; — 1 ± ^/Z^ lorsque n:= 4 m -i- 3; 



on pourrait déterminer le signe du radical , et l'on trouverait que 

 l'on doit toujours prendre le signe positif, comme M. Gauss l'a 

 fait dans les mémoires de Gottingue ; mais cette démonstration 

 nous écarterait trop de notre but, et nous la supprimerons. 

 Puisqu'on a 



Y^d=n Z= = 4 X,. 

 Si l'on rejette les multiples de n, on trouvera 



Y = 2/X=2 1/^fEï [mod. «1 



X 1 



et puisque n='2p-^i,on aura 



