THÉORIE DES NOMBRES. ' 5 7 



£ cos 2 h /_i sin 2 — k= — h— -/±; 



\ n n I i 2 I 



„ / iu'S- , . ba'ïïX 1 1 , 



S COS 2 h- t/_i sin 2 — \z=. — j/±„ 



\ n- n I 2 2 i 



OÙ il faudra prendre le signe supérieur, si wrr: 4 wi -4- l, et l'inté- 

 rieur, si « ^^ 4 m -\- Z. 



La méthode que nous avons exposée pour trouver les coeffi- 

 cients numériques de l'équation 



i Y ± i Z/ï; =: 0, 



est indépendante de toute considération sur le nombre n, en tant 

 qu'il est ou n'est pas diviseur de Z^ ± a; si l'on ordonne donc l'é- 

 quation 



I Y ± 1 z /±; = 



par les puissances descendantes de j;, on pourra, par les formules 

 connues , trouver la somme des puissances de ses racines , les coeffi- 

 cients étant donnés : alors il faudra observer que si l'on appelle P„ 

 la somme des puissances a"" des racines de cette équation, on 

 aura en général P„ :=. P„ si a est un résidu quadratique de n, et 

 P„ = 1 — Pj, si a est non résidu. On pourra donc reconnaître di- 

 rectement de cette manière si a est ou n'est pas résidu de n. 



L'équation (lo) dont nous sommes partis, qui établit un rap- 

 port si remarquable entre les intégrales aux différences des fonc- 

 tions circulaires et le nombre des solutions d'une congruence, 

 peut donner directement la résolution des équations à deux termes, 

 que M. Gauss a trouvée le premier, en partant de considérations 

 particulières, et en s'appuyant sur la connaissance des racines 

 primitives. 



Lagrange , qui depuis a repris cette matière , en partant des 

 formules générales qu'il avait données précédemment, suppose 

 aussi que l'on connaisse ces racines primitives. Nous avons sim- 

 plifié cette résolution en la rendant indépendante de la recherche 

 de ces racines, et en la déduisant d'une seule formule. 



Nous allons ici énoncer quelques propositions qui nous seront 

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