THÉORIE DES NOMBRES. 69 



( en intégrant entre les limites 



i = 1 , t =. mn -+- 1 , 



X 7= i, X = «, i„ = X M -H 1 , 'u ^ (u_i , 



et en faisant 10 = t), dans laquelle Pr exprime en ge'ne'ral la somme des puis- 

 sances r""" des racines d'une équation donnée, et Av repre'sente le coefficient de 

 la puissance w""' : du développement connu du polynôme. 

 On obtiendra de même dans l'équation 



( 1 -l-ai X -t- a2x' . . . . -t- o„ X" + etc.)»' =1 H- Ai x -+- As x'. . . . -t- A„ x„ -h etc., 



a 



A„ = >na„ ■+■ m S «b„ e n„ 



e étant la base des logarithmes hyperboliques, et les intégrations étant effectuées 

 entre les limites 



V :^ , y = u, 



Up = u — /)-+-!; «/i = nfi_i. 

 La somme des puissances n""' des racines de l'e'quatiou 



X" — ai x""' — «2 x"'~2 — a„ = 0, 



est donnée par la formule 



P„ = ma„, -H S ( ?« — J>h ) am., e "^ "«=-«=.. 



où il faut intégrer entre les limites 



; = 0, z=z u ; rrip = m- 1 — p, mp = m^_i ; 

 u == 1 , K = m ; 



et faire m» = >» , comme auparavant. 



Il y a deux ans que nous avons trouvé ces formules, dont nous avons donné 

 une application dans un mémoire présenté à l'Académie royale des sciences de 

 Paris, en janvier 1 824 , en cherchant la somme des diviseurs d'un nombre quel- 

 conque. Elles ont l'avantage de n'exiger aucune opération analytique pour être 

 appliquées, car il suffit d'y substituer les coefficients connus 



ai , 02 / 03 / an / etc. 



pour en avoir la valeur pour chaque cas particulier; de plus, lorsque le coefficienl 

 général an est une fonction donnée de n, on peut les transformer en intégrales 

 définies et en obtenir la valeur directement en nombres; ce qui est d'un 

 grand avantage dans la théorie des nombres. M. Cauchy nous a montré 

 un mémoire inédit dans lequel il expose des formules propres à exprimer ici 



