THÉORIE DES NOMBRES. 71 



x^ et comme x doit être un nombre entier, on prendra pour sa valeur exacte le 

 nombre entier 'e plus approche. 



NOTE IV. 



Soit proposée l'équation j^" — 1 = o, et soit s une racine primitive du nombre 

 premier n: si l'on exprime par r,, rs, r„_i, les n — 1 racines de l'équation 



X"— 1 ^ 



= , il est clair qu'on aura 



X— 1 ' 



ra = II», rz = r.2', jy, = n', .... etc. : 



maintenant si l'on suppose que l'équation x"> -+■ ai x"'~' /■"' .... -i-a„ =r 0, ait les m 

 racnies n, ,-2, telles qu'en exprimant par ç [y] une fonction rationnelle quel- 

 conque de y, on ait toujours n = <p (n) , r3 = 9 {n] etc., on pourra 



encore résoudre complètement l'équation x"' -+- ai x'"~' -\- am =z 



( lorsqu'elle n'a pas de facteurs rationnels ) en employant la même méthode dont 

 Lagrange s'est sei-vi dans les notes de la 2= édition de la Résolution des équations 

 numériques, pour résoudre l'équation à deux termes. 



ADDITION. 



Dans un mémoire présenté précédemment à l'Académie, nous avons énoncé 

 ce théorème : 



<. Qu'un nombre quelconque positif est la somme de quatre cubes rationnels et 

 " positifs. » 



En voici la démonstration. 



Soit M un nombre positif, et g un nombre rationnel, on aura toujours 

 1 identité • ' 



(A) ^j^/ M-t-48r Y_^ /_M-48£y_ / M y ( u y 



(comme il est facile de s'en assurer en développant) qui prouve qu'un nombre 

 quelconque est la somme de quatre cubes rationnels; mais d'après l'énoncé du 

 théorème, ces cubes doivent être positifs , et ils ne le sont pas dans l'équation {bV 

 voyons comment on peut les réduire tels. 



Puisque q est un nombre quelconque, nous supposerons g positif, et M > 48«3, 

 ce qui rendra positif les deux premiers cubes du second membre de l'équation [b], 

 tandis que les deux autres seront toujours négatifs. A présent il faut observer que 

 dans 1 identité 



