INTÉGRALES DE VALEUR ALGÉBRiaUE. 77 



grale uii procédé particulier, fondé sur une circonstance bien 

 indiflerente au premier aperçu, savoir, sur ce t'ait analytique, que 



X clx 



d'une part la quantité^" . est une fonction de x dont la 



valeur reste la même, au signe près, quand on y remplace .«• par 



dx 



— X , et que d'autre part l'intégrale définie /'°° . ~ p''t'uinom- 



bre fini. On prouve que ces deux propriétés ne pourraient pas 

 exister ensemble, si la fonction elliptique de première espèce 

 avait une valeur algébrique. Mais cette méthode singulière ( qu'il 

 suffit d'avoir indiquée en deux mots ) , ne conduisant qu'à des 

 résultats bornés, n'aurait pu contribuer en rien aux pro^^rès du 

 calcul intégral. En regardant les choses de plus près , j'ai rencontré 

 une méthode nouvelle qui , déduite naturellement des vrais prin- 

 cipes de la matière, mène à des résultats beaucoup plus étendus 

 que la pi'écédente. Par son moyen je suis arrivé au théorème sui- 

 vant : £^tewf donnée une fonction algébrique quelconque fi, v), 

 on pourra toujours décider si elle a ou n'a pas pour intégrale une 

 fonction algébrique; à quoi j'ajouterai que sila question est résolue 

 affirmativement, le même procédé fera connaître la valeur de 

 ff{x)dx. Toutefois je ne veux pas démontrer ici, dans toute son 

 étendue, la proposition que je viens d'énoncer, me réservant, 

 dans un second mémoire, d'attaquer le problème général. Pour 

 le moment je supposerai que les quantités placées sous les radicaux 

 que/'(j7) contient sont des fonctions rationnelles de x. On verra 

 que notre théorème, ainsi restreint à ce que je nomme fonctions 

 irrationnelles de première espèce , dérive avec facilité des règles 

 du calcul différentiel et des propriétés des radicaux. Mais avant 

 d'entrer en matière, il faut définir d'une manière précise ce qu'on 

 entend par une fonction algébrique (*), et montrer comment on 

 peut toujours écrire une fonction de cette espèce. 



(■ ) On ne considère dans ce mémoire que des fonctions algébriques explnùes. 



