DE VALEUR ALGEBRIQUE. 8 3 



tels que le rapport de deux d'entre eux ne soit jamais rationnel ; 



ï/r" 

 car si l'on avait par exemple — ^- = K, K étant rationnel, on 



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 aurait aussi 



E"^Q + Fi/R = ( E + FK)yâ; 



et les deux termes Ei/q" , F^^r" se trouveraient réduits à un seul 

 de la forme E'^/q". Désormais nous supposerons que la fonction P, 

 a été mise sous la forme la plus simple, et que les radicaux 

 dont elle dépend sont tous irréductibles et dissemblables entre 

 eux. 



III. 



[7] Notre but étant de trouver fVidjc, nous passerons du 

 simple au composé, en considérant d'abord la quantité ff^L'-d-r- J*" 

 désigne par L une fonction i-ationnelle quelconque donnée : on verra 

 que ie cas général se ramène aisément à ce cas particulier. Or , 

 l'intégration de la quantité ^J^ .dx ( quand elle est possible algé- 

 briquement ) dépend d'un théorème général dont voici l'énoncé : 



THÉORÈME. 



Si l'intégrale y ^=f fyï^ . dx a une valeur algébrique, cette 

 valeur sera nécessairement de la foutne y = C'y^IT -t- constante, 

 C désigîiaût une fonction rationtielle de x. 



Démonstration. Puisque par hypothèse la valeur de y est algé- 

 brique , et qu'évidemment cette valeur ne peut pas être rationnelle, 

 il faut en conclure que y sera une fonction irrationnelle d'une cer- 

 taine espèce , et que par conséquent ( d'après nos conventions du 

 n° 6 ) cette quantité pourra être représentée par une des lettres 

 successives P, , Pj , P3 , . . . Maintenant je dis que y ne peut pas 

 être une fonction irrationnelle d'espèce supérieure à la première; 

 car si l'on avait par exemple 



y = P, = P, ■^- E.1^^ -H F.î/5; + -t- H,.{/^, 



11' 



