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et que P2 contînt j) radicaux de seconde espèce, on dificren- 



cierait l'équation y = Pj , et de f e'quation dérivée , savoir 



_ „, (ErQi)' p „ .— ("l'Si)' TT 7/— 



V^ = i^' - 1;^::^^^^^^ ^ .... -H -^^Hys., 



on tirerait la valeur d'un de ces radicaux ; en sorte qu'après la 

 substitution faite de cette valeur dans celle de y, le nombre des 

 radicaux de seconde espèce entrant dans y se trouverait réduit à 

 p — 1 . Opérant sur la nouvelle valeur de y comme on a opéré 

 sur la première, on diminuera encore ce nombre d'iuie unité, et 

 ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les radicaux de seconde espèce 

 aient disparu. 



Si l'on y posait y =: P3 , il est visible que par des différenciations 

 successives on éliminerait de même tous les radicaux d'espèce supé- 

 rieure à la première, en commençant l'élimination par ceux de 

 troisième espèce ; et en général si l'on avait y = P„, on chasserait 

 par des opérations successives semblables tous les radicaux de 

 n' espèce, puis ceux de (w— l )' espèce , etc. , d'où il résulte que y 

 doit être une fonction irrationnelle de première espèce seulement. 

 En d'autres termes, s'il existe une valeui' algébrique de y, confor- 

 mément à notre hypothèse, on pourra toujours, quelle qu'elle 

 soit, en déduire, par des différenciations et des éliminations conve- 

 nables, une valeur nouvelle débarrassée des radicaux d'espèce 

 supérieure. 



Puisque la valeur dey ne contient dès-lors que des radicaux de 

 première espèce , elle est de la forme Pj : posons donc 



(1) y = P -+- E-j^Q- -H- F]/5- +....-»- H|/s • 



Le second membre de cette égalité contient des radicaux dont 

 on peut représenter le nombre par ;•, et dont r — l au moins sont 

 différents de H/îT. Or, je dis que r doit être égal à l'unité, et qu'en 

 outre le radical, qui peut seul rester dans la valeur dey, est pré- 

 cisément fyï^ . 



