8 8 INTEGRALES 



n'est pas exprimable algébriqueinent; cl dans le cas contrcdrc, on n 



/ "i/l ■ dx r= / = H constante. 



[i o] Tout se réduit donc à chercher s'il y a une valeur entière 

 de ô satisfaisant à l'équation (2) , et à trouver cette valeur quand 

 elle existe; problème que l'on résoudra aisément parla méthode 

 des coefficients indéterminés, dès que l'on connaîtra l'exposant de 

 la puissance la plus élevée de x , entrant dans le polynôme 6. On 

 pourrait calculer cet exposant par la règle du parallélogramme 

 analytique, mais il est une manière plus simple d'y parvenir. En 

 efFet ( si l'on excepte d'abord le cas particulier où le degré du poly- 

 nôme T est un multiple exact de /^, tel que o"M.), à la seule inspec- 

 tion de l'égalité 



Mrfx 



Vf Vf 



f = — — -+- constante, 



H est aisé de comprendre que, toutes les fois qu'elle a lieu , le poly- 

 nôme entier ô est d'un degré supérieur d'une unité au degré de M; 

 en sorte que si M est, comme nous le supposerons, du degréw^Ône 

 peut être que du degré m-\-\. On se convaincra de la vérité de cette 

 assertion , si l'on développe les deux membres de l'équation en séries 

 ordonnées suivant les puissances décroissantes de x , et si l'on ob- 

 serve que les premiers termes de ces séries doivent être les mêmes 

 de part et d'autre. 



A cause de la constante arbitraire introduite par l'intégration , ce 

 raisonnement et la conclusion qu'on en tire pourraient se trouver en 

 défaut , si le degré de T était un nombre de la forme de a-fx , et si en 

 même temps celui de Gavait 0- pour valeur; par où l'on comprend que 

 le degré du polynôme ô est toujours un des deux nombres ?« -t- 1 

 ou a-, dont il sulRt évidemment d'essayer le plus considérable, et 

 dont le second ne peut être adopté qua'utant qu'il est entier. Pour 

 fixer les idées admettons que /«-t- l soit > <r. Il résulte de là que, 



