DE VALEUR ALGÉBRiaUE. g 9 



pour s'assurer de la possibilité ou de l'impossibilité de notre équa- 

 tion , il suffit de faire 



Ô = a^"*' ^ bx'- + .... ^ hx -^ k 

 rf9 , 



-^ = {m^\)ax- + mbx-' -f- .... -^ h, 



puis de substituer ces valeurs dans (2), et de chercher s'il y a 

 moyen de satisfaire à l'égalité résultante, en déterminant conve- 

 nablement les constantes a,b,.... h, k. Ces calculs une fois 

 etiectues, on connaîtra tout ce qu'il est possible de savoir sur 

 1 intégration delà formule différentielle yu • ^.r en termes algé- 

 briques. En effet, ou l'on obtiendra pour la fonction entière 9 une 

 valeur convenable, et on aura 



S lyL.dx = — - -4- constante , 



ou l'on démontrera que cette valeur entière de ô n'existe pas 

 ce qui établira rigoureusement l'impossibilité d'exprimer/ /yr dx 

 sous forme algébrique. Notre méthode ne dépend, comme on voit 

 de la resolution d'aucune équation de degré supérieur (*). 



fl Ij La recherche du polynôme entier ô se réduit toujours à 

 celle d un polynôme de degré moindre. Pour le prouver, j'observe 

 que 1 équation (2) peut être écrite ainsi 



H en résulte que le produit ÔT' étant divisé par T, doit fournir 

 un quotient entier. On sait d'ailleurs que, si l'on divise T' par T 

 on formera par là une fraction irréductible, ayant pour dénomi- 

 nateur le produit de tous les facteurs premiers inégaux renfermés 

 dans 1 . bi donc on désigne ce produit par la lettre U , il est mani- 



f) Quand on pose ^ = 1 , la quantité que nous intégrons devient une simple fraction 

 rationnelle , doù il résulte que l'intégration d'une fractton rationnelle ^ ( quand elle peut 



IflT'' '''«'^'•',1"'=""="') "'«ig'^ pasiaeonnaissance des racines de^équation N=0 

 connaissance que (a méthode ordinaire semble supposer. on i> _ o , 



5.. 



ta 



