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feste que ô doit être exactement divisible par U ; en sorte que l'on 



pourra poser ô = U . (^, F étant un nouveau polynôme entier. La 



détermination de la fonction inconnue 9 est ainsi ramenée à celle 



d'une autre fonction entière ;^, laquelle évidemment est de degré 



moindre. 



[ 1 2] En admettant que le polynôme entier U soit du degré n , et 

 se rappelant que G est du degré m -*- 1 ou du degré o-, on voit que ^ 

 sera du degré m — 7/ -t- i ou du degré a — u : si donc les quantités 

 m — 7Z-I-1 et cr — ?/ étaient négatives, on tomberait dans une absur- 

 dité , et if laudrait en conclure que l'intégrale f^Z ■ ^>' ^=/ rr" 



t/t 

 n'est pas exprimable algébriquement. Supposons, |)ar exemple, que 

 le polynôme T n'ait ni facteurs doubles, ni facteurs triples, etc., 

 c'est-à-dire supposons que féquation T =: o n'ait pas de racines 

 égales : alors T et T' n'ayant aucun diviseur commun , on trouvera 

 U =: T, et le degré ii de U sera en même temps le degré de T; de 



plus on aura constamment a- — » < : l'intégrale / — sera donc 



impossible sous forme algébrique , si le degré m du polynôme M 

 placé en numérateur est inférieur à n — i . 



Un corollaire très-simple de ce théorème , c'est que les fonctions 

 elliptiques de première et de seconde espèce , savoir 





/(l_a-2)(l_c^.r2) 



n'ont jamais une valeur algébrique en fonction de l'indéterminée x. 



Mdx 



On démontre avec une égale facilité que l'intégrale f- — — z.dans 

 " " - p Yq 



laquelle P et Q, sont des polynômes tels que les deux équations 



P= 0, Q = 0, n'aient ni racines communes, ni racines égales, 



est toujours impossible sous forme algébrique, tant que P ne se 



