DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 91 



réduit pas à une simple constante , et que les deux fonctions M 

 et P sont premières entre elles. En effet , si l'on égale la quantité 



p/'î/n^ formule—^, prise pour type général, on a T = 

 „ ' ^ y T /ui;-jii;Ki 



P'«Q, d'où l'on tire 



T = P^.Q' -»- /xP/«-'.Q.P. 

 Portant ces valeurs de T et T' dans l'équation (2), on obtient 

 MPQ = Pa-^- J-PQ' _ 9QP' 



Cette égaDté prouve que le produit ÔQP' doit être divisible par P. 

 Or, les deux quantités QP' et P ne peuvent avoir aucun diviseur 

 commun, puisque les équations P = o, Q=o, n'ont par hypo- 

 thèse ni racines communes, ni racines égales. Par conséquent 6 

 est divisible par P, et, en nommant z le quotient, il est permis 

 de poser 



ô = P., 4L = p-^,p. 



tfj: dx ' 



ce qui transforme notre équation dans la suivante 

 MQ = pfQ^_^\ 



dont l'impossibilité est manifeste, puisque le second membre est 

 divisible et le premier non divisible par P. Donc, en admettant 



nos hypothèses, 1 intégrale/ -^^, qui renferme, comme cas 



particulier, la fonction elliptique de troisième espèce, n'est pas 

 exprimable algébriquement. 



IV. 



[13] Soit enfin proposé de trouver/P,c?j:, P, étant une fonction 

 irrationnelle de première espèce. On sait que P. peut se mettre 

 sous la forme 



P, = P + ^Q ^- ^R ^- .... ^ y^. 



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