9 î INTÉGRALES 



toiiction dans laquelle on suppose toujours les radicaux irréduc- 

 tibles et dissemblables. Cela posé , il est Facile de voir que l'inté- 

 grale /P, . f/j; (si elle est algébrique) ne peut contenir d'autres 

 radicaux que ceux qui entrent dans P,; et, en efiet, tous ceux 

 que l'on voudrait introduire dans l'expression de cette intégrale 

 pourraient en être éliminés par des différenciations successives , 

 ainsi qu'on l'a vu n° 7. La valeur dey P, . dx est donc nécessairement 

 de la forme 



JP,.dj: = F -t- Gy^ -+- H^R ^ ^ K^s- 



F, G, H,. . . . K, désignant des quantités rationnelles. En la 

 différenciant, on en conclut 



Or , je dis que cette égalité ne peut subsister qu'autant que l'on a 



F = P 



(G"'Q)' f.„, - „v- 



— — TT-Ut/q = i/Q 



mG"'Q ' ' 



(H»R)' „„ .- _ ..,- 

 rli/R — i/R 



nH" R 



(K7S)' j^,/- ^^- 



qKlS 



c'est-à-dire que les diverses irrationnelles irréductibles, entrant 

 dans les deux membres , doivent être les mêmes de part et d'autre. 

 Cette proposition découle assez naturellement de ce que chaque 

 radical du degré m, pris dans toute la généralité de l'algèbre, 

 possède m valeurs difTérentes. On pourrait aussi la déduire des 

 principes du calcul différentiel : c'est ce que nous montrerons tout 

 à l'heure : pour le moment regardons-la comme démontrée, et 

 intégrons les équations que nous venons d'écrire , nous ob- 

 tiendrons 



