DE VALEUK ALGÉBRiaUE. 9 5 



De même le coefficient de^^Q, après l'élimination de y^p, est 



^r (G-p)' _ (H"Q)' 1 



Si donc il pouvait être nul , c'est qu'on aurait 



m / — 



HÏ/Q 



constante ; 



ce qui est absurde , puisque, par hypothèse, '^/p et ^q sont des 

 radicaux dissemblables. 



[15] Cette manière d'établir un théorème, que l'on néglige 

 ordinairement de démontrer , me paraissant très-simple , je n'ai pas 

 cru devoir l'omettre. La proposition algébrique dont nous venons 

 de nous occuper trouve son analogue en arithmétique ; et même 

 elle devient alors beaucoup plus difficile à démontrer; car dans ce 

 cas on ne peut faire usage ni du calcul différentiel, ni du principe 

 de la multiplicité des valeurs d'un radical. Ainsi, par exemple, si et, C, 

 ■y,....a), sont dès nombres rationnels quelconques, et «, b, c,.... h, 

 des nombres entiers positifs non carrés , on peut prouver que 



^V7 -+- ê/î" -+- y/~ -+- .... -f- a)/r 



est toujours une quantité irrationnelle, pourvu toutefois que 

 yâ, Vb) V^> • ■ ■ ■ Va, soient des radicaux essentiellement diffé- 

 rents l'un de l'autre. Mais cette proposition , quoique très-élémen- 

 taire , et l'une des plus simples que l'on puisse rechercher en ce 

 genre , est à elle seule plus difficile à établir que notre théorème 

 général d'algèbre. Au reste , les questions arithmétiques dont 

 nous venons de dire un mot ont été traitées amplement, par 

 M. Libri, dans un mémoire inédit sur les irrationnelles numé- 

 riques; et nous en avons parlé ici uniquement pour rappeler que 

 la priorité lui appartient , et qu'en cherchant à prouver le théo- 

 rème du n° 14, nous n'avons fait que marcher sur ses traces , et 



