98 INTEGRALES 



La proposition que Lapiace énonce relativement à l'intégrale 



/ 



/l 



est très-belie, mais fa démonstration n'en a pas été publiée, et 

 nous ignorons de quelle nature cette démonstration pouvait être. 

 Il est singulier que ce grand géomètre , qui fait mention , en plu- 

 sieurs endroits de ses ouvrages, du théorème dont il s'agit, ne 

 soit jamais entré à ce sujet dans des détails suflisants. Nous le 

 regrettons d'autant plus que ce théorème ne nous paraît nulle- 

 ment facile à établir d'une manière tout à fait rigoureuse, et que 

 cependant une rigueur absolue est indispensable dans ces recher- 

 ches, qui ont quelque rapport avec la théorie des nombres. 



[17] Le principe posé par Lapiace que l'intégrale d'une fonc- 

 tion différentielle ne jjeut contenir d'autres quantités radicales 

 que celles qui entrent dans cette fonction , est certainement d'une 

 grande utilité dans le calcul intégral. Le théorème du n" 7 n'en 

 est au fond qu'un cas particulier. En étendant un peu les considé- 

 rations dont on a fait usage au numéro cité , on parviendra sans 

 peine à une démonstration générale du principe dont nous par- 

 lons, pour tous les cas où l'intégrale est algébrique; mais il con- 

 vient d'en modifier l'énoncé, afin d'obtenir des résultats j)lus 

 simples. Voici comment il faut procéder. 



Etant donnée une fonction algébrique quelconque 1/ , on peut 

 toujours regarder (/ comme la racine d'une équation algébrique de 

 la forme 



(«) y" — Ly"— ' — . . . . — My — N = , 



L,. . . . M, N, désignant des fonctions rationnelles de a.- .• cela 

 posé, la question que nous devons résoudre consiste à déterminer 

 la forme sous laquelle on peut écrire l'intégrale fyd.v, lorsque 

 cette intégrale est exprimable algébriquement. Or , la quantitéyyrf.r 



