DE VALEUR ALGÉBRIttLE. 99 



étant une fonction algébrique de x, d'après l'hypothèse ; et les 

 deux lettres y et x étant liées entre elles par l'équation (a), on est 

 libre de regarder yy^/jr comme une fonction algébrique de x et y. 

 Je vais démontrer que notre intégrale est nécessairement équiva- 

 lente à une fonction rationnelle de x et y. Ce théorème est , comme 

 on voit, celui de Laplace , énoncé d'une autre manière. La démons- 

 tration que j'en donnerai repose sur deux lemmes que voici : 



PREMIER LEMME. 



La Jonction y de x étant racine de l'équation {a), on peut 



toujours exprimer — — par une fonction rationnelle de x et y. Et 



en général la dérivée —— df{ x,y ) d'une fonction algébrique 



f{x,y) ne peut contenir d'autres radicaux que ceux qui entrent 

 dans f{^x,y^. 



La première partie du lemme résulte de ce que l'équation (a) 

 donne , par les règles du calcul différentiel , 



dy 



_ rfL rfM rfN 



^ dx ' ^ dx dx 



dx i^y^"^ — • • • • — M 



et la seconde devient évidente , en observant qu'on a 



^ J/ri \ ''/(■^'y) df(x,y) dy 



-^df[x,y) = __^^_._, 

 et en remplaçant par sa valeur. 



SECOND LEMME. 



Les fonctions algébriques de deux variables x et y , qui 

 contiennent des irrationnelles , peuvent être classées en espèces 



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