10 ■ INTÉGRALES 



tout aussi bien et par la même méthode que les fonctions d'une 



seule variable. 



La proposition contenue dans ce lemme est évidente ; car il 

 suffit de répéter mot à mot , pour les fonctions de deux variables , 

 ce que j'ai dit au n° 2 et dans les numéros suivants , pour les 

 fonctions d'une seule variable. 



L'analogie est si complète que nous ferons dans les deux cas 

 usage de fa même notation. Ainsi, dans ce qui va suivre, je dé- 

 signerai par des lettres majuscules sans indices,. telles queP, Q, 

 R,. . . . les fonctions rationnelles de x et ij , et par ces lettres 

 avec l'indice n, comme P„, Q.„, R,„. ... les fonctions irration- 

 nelles de n° espèce. 



On pourra donc toujours écrire 



P, = P -H "t/q -l- Î/r -H ^ Y^ 



p, = p, -t- ^^ ^- î/i?; -^ — H- yi; 



ou, ce qui revient au même, 



P, = P H- Ey^ -^ F]/5- ^ + Hv^s" 



p, = p, H- E,y^ -H f.î/k; ^ — + Htv/s; 



[is] Maintenant on peut démontrer le tbéorème général déjà 

 énoncé que si l'intégrale f y dx est exprim,able algébriquement, 

 sa valeur sera égale à une certaine fonction rationnelle de 



X et y. 



Car si la quantité fydx n'est pas une fonction rationnelle de 

 X et y, elle sera une fonction irrationnelle de première espèce ou 

 de seconde espèce, &c. Supposons d'abord que fydx soit une 

 fonction irrationnelle de première espèce , et qu'on ait en consé- 

 quence 



fydx = P -t- E-^/Q -t- -1- H{^S. 



