DE VALEUR ALGEBRiaUE. lOl 



Le second membre contient un certain nombre r de radicaux 

 de première espèce : or, je dis que l'on peut éliminer tous ces 

 radicaux par des différenciations successives. En effet, en différen- 

 ciant fydx, et indiquant les dérivées par des accents à la manière 



I T . . I- r • ''P <iv dx ^, 



de Lacrrange, cest-a-da-e taisant 1 . = F , etc., 



" ° dx dij dx 



on obtient 



De cette égalité on peut tirer la valeur de |/q, et en portant cette 

 valeur dans celle Aefydx, il ne restera dans cette dernière que 

 r — 1 radicaux. Si donc on la différencie une seconde fois, il est 

 incontestable qu'on éliminera de même un second radical, et ainsi 

 de suite, jusqu'à ce que tous les radicaux aient disparu; alors 

 fydx sera exprimée rationnellement en fonction de x et y. Donc 

 fydx ne peut pas être une fonction irrationnelle de première 

 espèce. 



On ne peut pas avoir davantage yyc?.r = Pj, c'est-à-dire que 

 fydx ne peut pas être une fonction irrationnelle de seconde 

 espèce, car si cela était, et qu'on eût 



fijdx = P, H- E,-^^ -H -^ H,.J/^, 



on en déduirait 



„, (E,».Q,)' t-™^- \ ("»'S')' TT V5- 



Par conséquent, on pourrait éliminer y'o^, et on éliminerait 

 ensuite les autres radicaux , en répétant la même opération plu- 

 sieurs fois. Ayant chassé par là tous les radicaux de seconde 

 espèce contenus dans la valeur àe fydx, cette intégrale se trou- 

 verait réduite à la ïovrae fydx =zV^, qui a été démontré impos- 

 sible. On prouvera par des raisonnements semblables c^ue fydx 

 ne peut pas non plus être une fonction irrationnelle de troi- 



