104 INTÛGIIALES 



PoiirMcn comprendre cet énoncé, on observeia (|iie lorsqu'on 

 dcmantlc l'intégrale d'une fonction algébrique déterminée y, il est 

 permis de distinguer deux cas : le premier a lieu si l'intégrale 

 jydx est eHe-méme algébrique; le second cas est celui oîi l'inté- 

 grale représente une fonction transcendante. Vous les rencontrez 



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l'un et l'autre eu intégrant une fraction rationnelle — ; car si 

 parmi les dénominateurs des diverses fractions simples dans les- 



M 



quelles on partage -— pour en obtenir l'intégrale, il n'y en a 



aucun du premier degré, le résultat de l'intégration sera une fonc- 

 tion algébrique; et il contiendra au contraire des logarithmes si 

 quelqu'un de ces dénominateurs est du premier degré. 



Or, puisque l'intégrale d'une fonction algébrique appartient, 

 suivant les circonstances , à la classe des fonctions algébriques ou 

 à la classe des fonctions transcendantes, on peut se proposer de 

 reconnaître avec certitude dans laquelle de ces deux classes doit 

 être rangée l'intégrale d'une fonction algébrique dont la compo- 

 sition est connue, ou qui doit satisfaire à une équation donnée. 

 Ce problème est précisément celui qui fait l'objet de ce mémoire ; 

 mais j'y ai joint une condition que je crois essentielle, savoir, que 

 le même procédé qui fait connaître si la quantitéy^r/.r est ou n'est 

 pas algébrique, fournisse aussi la valeur de cette intégrale toutes 

 les fois qu'on peut l'obtenir algébriquement, soit d'une manière 

 explicite, soit d'une manière implicite. 



La question que j'ai résolue me paraît analogue à celles que 

 nous offrent la division algébrique et l'extraction des racines. En 

 effet, lorsqu'il s'agit de diviser un polynôme par un autre, on re- 

 cherche d'abord si le quotient est de même nature que le divi- 

 dende et le diviseur, c'est-à-dire s'il est composé comme eux d'un 

 nombre fnii de termes Et quand on extrait la racine d'une fonc- 

 tion entière , on examine en premier lieu si cette racine peut ou 

 non être exprimée par une fonction entière; semblablement, lors- 

 qu'il est question de fintégrale d'une fonction algébrique , il 



