106 INTÉGRALES 



[3] Le tiléolcnie d'Abel, mentionne plus liant ( (|uand on le 

 restreint an cas particulier dont je veux iii'occnper ), consiste en 

 ce que si l'intégrale yy^^-*^'; fJ"'"* laquelle y désigne une fonction 

 algébri(|ne (juclconque, explicite ou implicite, peut être obtenue 

 algébri(|ueinent, soit d'une manière explicite, soit d'une manière 

 implicite , la valeur de cette intégrale pourra toujoins être exprimée 

 par nue certaine fonction rationnelle de x et y. Ce théorème ( tout 

 à fait semblable à celui (|ue l'on trouve dans mon ])rcmier mémoire ) 

 ne difTère pas au fVind de celui posé par Laplace , que l'intégrale 

 d'une fonction différentielle ne peut contenir d'autres quantités 

 radicales que celles qui entrent dans cette fonction; et on doit 

 dire qu'il était connu des premiers inventeurs de l'analyse infinité- 

 simale. Leibnitz en effet le regardait comme une conséquence né- 

 cessaire de ce que si l'intégrale fydx est égale à une fonction 

 algébrique <}), les deux membres de l'égalité 



fijdx — Cp, 



dans laquelle les divers radicaux ont, comme on sait, des valeurs 

 multiples, d(jivent, pour être identiques, posséder le même nombre 

 de valeurs. Mais cette démonstration et celle de Laplace semblent 

 un peu vagues , et ne sont point admises par tous les géomètres. 

 Il n'était donc pas inutile d'y substituer des considérations tout 

 à fait rigoureuses. 



[4] Quoi qu'il en soit, le théorème précédent fait connaître 

 les irrationnelles irréductibles qui peuvent entrer dans la valeur 

 àe fjd.v. Mais ces irrationnelles ( que l'on ramène aisément à une 

 forme entière ) peuvent être afTectées de coefficients rationnels et 

 fonctions de x qui nous sont inconnus; soient ot-, ^, y, . . . . ces 

 coefficients. Pour les déterminer, on difTérencie l'équation 



fydx = Cp, 



ce qui produit une équation purement algébrique, 



dp 



