DE VALEUR ALGÉBRiaUE. 107 



dont les deux membres, pour rtre identiques, doivent être com- 

 poses des mêmes irrationnelles respectivement affectées des mêmes 

 coefficients. Egalant donc entre eux ces coefficients de part et 

 d'autre, on trouve un certain nombre ^a d équations différentielles 

 linéaires du premier ordre, contenant fx quantités inconnues et, 

 /3, y, . . . qui doivent avoir des valeurs rationnelles toutes les fois 

 que l'intégrale yy^/^r est réellement algébrique. Si donc on avait 

 une méthode infaillible pour découvrir quand ces équations linéaires 

 peuvent être satisfaites par des valeurs rationnelles de ol, /B.-y, . . . 

 et si de plus cette méthode fournissait ( lorsque cela est possible ) 

 les valeurs rationnelles convenables de et,, ^, -y, . . . le théorème 

 énoncé en tête de ce mémoire se trouverait démontré. 



Ainsi tout se réduit à traiter cette question noi^elle, qui, par 

 elle-même et indépendamment de ses applications, paraît trés- 

 intéressante : 



Etant donné un système de fx équations différentielles linéaires 

 à coefficients rationnels et du jiremier ordre , contenant }x incon- 

 nues, trouver les intégrales rationnelles qui peuvent satisfaire a 

 ces équations. 



Ou , ce qui est la même chose : 



Etant donnée une équation linéaire à coefficients rationnels 

 renfermant une seule inconnue y , mais d'un ordre quelconque , 

 déterminer toutes les valeurs rationnelles de y qui rendent son 

 premier membre égal à zéro. 



Or, la solution de ce problème est exposée dans mon mémoire 

 avec de longs développements. 



Cet exposé rapide indique à peu prés la marche que j'ai suivie. 

 On voit qu'elle renferme deux parties distinctes. L'une consiste à 

 déterminer la forme algébrique que peut prendre l'intégrale yyrf.r, 

 et l'autre a pour objet de découvrir la valeur des quantités ration- 

 nelles qui entrent dans cette intégrale comme coefficients. Je 

 passe sous silence quelques problèmes accessoires qu'il m'a fallu 

 résoudre pour atteindre le but proposé, et je me hâte d'entrer en 

 matière. 



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