108 INTÉGRALES 



Je partagerai ce mémoire en deux sections. Dans la première 

 je chercherai les intégrales rationnelles d'une é(|uation linéaire 

 (lifrérenti(>Ilc d'un ordre quelconque à coeflicicnts rationnels, et 

 je donnerai dans la seconde la théorie générale de l'intcgraleyyt/^, 

 en tant qu'elle est exprimable algébriquement , y étant une fonction 

 algébrique prise à volonté. 



SECTION PREMIÈRE 



où l'on résout cette aUESTlON: 



Étant donnée une équation linéaire d'un ordre quelconque à 

 coefficients rationnels, trouver les intégrales particulières expri- 

 mées par des fonctions rationnelles de x , qui satisfont ii cette 

 équation; ou démontrer qu'il n'existe pas de telles intégrales. 



[5] Considérons l'équation différentielle linéaire d'un ordre 

 quelconque /U. 



^ ' dxf^ dxf^-^ dx 



Pj Q R,S,T, étant des fonctions algébriques rationnelles 



de X, ou mieux des polynômes entiers, ce qui revient au même, 

 puisque l'on peut chasser les dénominateurs : on demande de dé- 

 terminer toutes les valeurs rationnelles, c'est-à-dire toutes les 

 valeurs de la forme y = — ( X et Y étant des fonctions en- 

 tières ) qui satisfont à cette équation. 



Si l'on se bornait à demander les intégrales entières , telles que 



tj = Ax" -+- Bx""-' -»- -H Ci- -t- D, 



dont la proposée est susceptible, le problème n'offrirait aucune 



