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li, M, N, n'étant plus divisibles par ce binôme. A l'aide de ces 



valeurs j'obtiens 



(2) ^Z\j:-^ay+P = ZU[ct.L(x^-a)"-'- M(ar-t-«)"] 



-L(ZU'-UZ')(.r-t-a)"'. 



[lo] Cela pose, il faut distinguer trois cas , suivant que l'on a 

 m — 1 > « , ou ?n — 1 <n, ou m — 1 = n. 



Premier cas. m — i>}i. Dans ce cas le second membre de 

 l'équation (2) est divisible par (.r-i-rt)", et ne l'est paspar(j:-t-a)"*', 

 car il faudrait pour cela que ZUM fût divisible par .r ■+■ a, ce qui 

 est impossible , puisque chacun des facteurs Z , U , M , pris séparé- 

 ment, ne peut être divisible par .r -ha. Donc le premier membre 

 doit être aussi divisible par (.r-na)" sans être divisible par [x-ha]"*'. 

 ce qui exige que l'on ait 



CL -i- p = n, d'où et = « — p. 



Deuxième cas. m — i <?i. Dans ce cas le second membre de 

 l'équation (2) est divisible par (jr-i-a)""', et il ne peut devenir divi- 

 sible par (jT-t-a)" que si le tenue £tZUL(.r-t-a)"'~' (qui est divisible 

 par (x-t-a)""' seulement ) disparait , c'est-à-dire si et- = 0. Donc si a. 

 n'est pas nul, le premier membre doit être aussi divisible par 

 (a,--i-rt)"'~' sans l'être par (.r-ha)", ce qui exige que cx, = m — p — 1 . 

 Ainsi la valeur de a. est ou = 0, ou =:m — p — 1 ; c'est-à-dii'e qu'il 

 faut faire (d'après la remarque du n° 8 ) aL:=m—p — 1 , si m—p — 1 

 est > , et oc = , si m—p — l = ou est < 0. 



Troisième cas. /n— 1 = «. L'équation (2) devient alors 



(3) NZ%x+a)^+P = ZU(.r-Ha)"-Xe(.L-M) 



-L(ZU'-UZ')(jr-^a)".' 



Le second membre est divisible par (j'-t-a)"^', et il ne peut 

 devenir divisible par une puissance de j> -\- a plus élevée, à moins 

 que le produit 



ZU(ctL-M) 



