DE VALEUR ALGÉBRiaUE. 131 



qu'on sache trouver les racines incommensurables des équations ) , 

 je vais reprendre , dis-je , la recherche des intégrales rationnelles 

 de I équation linéaire du premier ordre : 



V. 



[is] Nouvelle discussion de l'équation linéaire du premier 



ordre. En représentant par y = — la valeur rationnelle de y 



qui satisfait à l'équation (l), nous avons prouvé au n° 6 que le 

 dénominateur Y ne peut être formé que du produit des facteurs 

 premiers de P, élevés à des puissances inconnues. Comme il im- 

 porte de savoir combien de fois ces facteurs entrent dans P, nous 

 supposerons qu'on ait décomposé ce polynôme par la méthode 

 des racines égales en un produit de la forme 



P = EF^G^ K" .... 



dans lequel E contient tous les diviseurs simples de P, F' ses 

 diviseurs doubles, G' ses diviseurs triples, et en général K" ceux 

 qui s'y trouvent n fois. Les polynômes E,F,G,.,..K... sont 

 tels que les équations 



E=0, F=:0, G=:0,.... K=o,.... 



nulle ne peut avoir de racines égales. Il résulte de là que si l'on 

 désigne par E', F', G', . . . K', . . . les dérivées respectives E, F, 

 G , . . . K , . . . les polynômes E et E' sont premiers entre eux , 

 ainsi que F et F' , G et G' , K et K'; propriété qui nous sera utile 

 par la suite. 



Si l'on décompose par la pensée chacune des quantités E, 

 F , G , . . . . K , . . . . en facteurs linéaires inégaux ; si l'on fait en 

 conséquence 



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