DE VALEUR ALGÉBRIQUE. I35 



[20] Cela posé, il faut distinguer trois cas, suivant que l'on a 

 P>n—l,p<n—l,p = n—i. 



• 

 Premier cas. /? > w — i . H est évident que le second membre 

 de l'équation (oc) est divisible par K""' ; mais pour qu'il devienne 

 divisible par K", il faut que l'on ait e =: 0. En effet, des trois 

 termes qui le composent, les deux derniers sont divisibles parK"; 

 mais le premier, savoir, êZULK'K"-' ne peut pas l'être, car il 

 faudrait pour cela que — j^ fût un polynôme entier, chose impos- 

 sible, vu queL, Z et K', sont premiers avec K, et que U n'est 

 pas divisible par K. 



Donc si l'on exclut l'hypothèse g = , le premier membre de 

 l'équation (et) doit aussi être divisible par K""' sans l'être par K", 

 ce qui exige que l'on ait e = w — y — l . 



H résulte de cette discussion que l'on ne peut choisir pour valeur 

 de g que l'un des deux membres et w — y— 1 , dont le plus grand 

 doit être préféré. D'après cela, si n~q—i est > 0, on fera 

 g = « — ^ _ 1 , et si w — 9-— 1 est = ou < , on fera g = 0. 



Deuxième cas. p<n-i.^ip e&i<n- \ , faisons n - 1 ^p ^z, 

 l'équation (et) deviendra 



(/3) NZ^K'"*"' = ZUK^(gLK'K^-M) - L(ZU -UZ')K''^'"^' 



Le second membre est divisible par K"; mais on ne peut pas 

 savoir à priori s'il est ou s'il n'est pas divisible par une puissance 

 de Kplus considérable. Cela dépend de la manière dont le produit 



ZU(gLK'K=-M) 



est composé relativement à K. Si la valeur de g est telle que ce 

 produit ne soit pas divisible par K^+» , il est manifeste que le 

 second membre de l'équation (/3) ne contiendra pas le facteur 

 KP+^-t-i , et sera tout au plus divisible par Kp+=. Donc le premier 



