1 4 INTEGRALES 



SECTION II, 



où l'on résout cette aUESTlOX : 



ij étant uite fonction algébriqve de x, trouver l'intégrale fydx 

 toutes les fois qu'elle est exprimable algébriquement. 



[22! Nous nous occuperons dans cette section des moyens 

 d'inté"rer algébriquement ijdx toutes les fois que cela est possible. 

 Puisque y est une fonction algébrique de .r, explicite ou implicite, 

 on peut toujours considérer ?/ comme étant racine d'une équation 

 'delà forme 



(fl) yf^ — Ly"—' — — My — N =: 0, 



L,. . . . M, N , désignant des fonctions rationnelles de .v. Cette 

 équation est facile à obtenir lorsque y est une fonction explicite, 

 et on doit la compter au nombre des données fondamentales de 

 la question , lorsque y est une fonction implicite. Cela posé, 

 l'iutéo^raley^/r/.r dépend delà variable jc , et il est permis delà 

 regarder comme une fonction de x et y : or, je dis que si. elle est 

 exprimable algébriquement , sa valeur ne peut être qu'une fonc- 

 tion rationnelle de x et y. Ce théorème énoncé depuis longues 

 années par les géomètres a été rigoureusement établi par Abel, 

 dont j'adopterai ici la démonstration ('). 



Eniaisunt fydx =^îi, on voit que si la quantité u est une fonc- 

 tion algébrique , explicite ou implicite, de x et y , comme nous le 

 supposons, il y aura entre x, y, u, une équation algé!)rique que 

 je désignerai par 



[b) f{'i-,y>") = 0. 



(') La dcmnnstration d'Abel est plus générale que celle que j'ai ilonnee du même théo- 

 rème dans mon premier mémoire ; car elle ne suppose pas n priori que la valeur algébrique 

 Ae Jydjc soit exprimable par radicaux en fonctions de x et y. 



