DE VALEUR ALGÉBRiaUE. 141 



et dont le premier membre contiendra x , y , u, rationneHement 

 et sous forme entière. Cette équation, qui fournira la valeur de u, 

 sei-a , par rapport à cette inconnue , d'un certain degré J\ ; et on 

 a le droit de la regarder comme irréductible , c'est-à-dire d'admettre 

 qu'il soit impossible que la fonction u puisse être racine d'une 

 autre équation de la même forme, mais dont le degré serait 

 moindre que J^. 



Dès lors il est incontestable, 1° que le premier membre de 

 l'équation {b) ne sera jamais décomposable en deux facteurs ra- 

 tionnels, sans quoi on pourrait supprimer celui de ces facteurs 

 qui serait étranger à la question, et abaisser paria le degré de 

 l'équation; 2° que si l'équation .((^) a une racine commune avec 

 une autre équation de même forme ¥[x,y,u)z=: o, toutes les 

 racines de la première satisferont à la seconde; car si la chose se 

 passait autrement, les deux polynômes /( .r, y, w ) , ¥{x,y,u) 

 auraient un commun diviseur dont le degré serait moindre que J\, 

 et par conséquent/( j?, y, u) se trouverait décomposable en deux 

 tacteurs rationnels, ce qui ne se peut. 



Maintenant, pour que l'équation 



fyxd =z II ' 



soit satisfaite, il faut et il suffit que l'on ait 



du 

 " ~ ~dl ' - 



Mais en différenciant les équations (a) et [b), il vient 

 dy J dx ~^ '^ y ~d7 '^ ~dr 



et 



dx ^y/*-»-(^_i)Ly/--2_ _M 



<tf{^,y,u) df{x,y,u) 'dy df{x,y,u) du 



^ dy dx du ' dx 



— 0. 



