142 INTEGRALES 



Eu combinant ces deux égalités, on en déduira pour une 



'-' • </ .r 



valeur rationnelle en fonction de a:, y, u, valeur que j'écrirai 

 ainsi : 



du (p[x,yftt) 



dx \{x,yfU) 



en mettant en évidence son numérateur et son dénominateur , et 

 d'où résultera 



? {x,y,u) 



.'/ = 



4- (-r^y.") 



Donc pour que l'équation yyrf'.r= ?/ ait lieu, il faut et il suffit 

 que la valeur de // soit telle qu'on ait à la fois 



(b) f{x,y,u) = 0; 



(c) y\{x,y,ti) — <^{x,y,u) = 0. 



Mais nous avons démontré que si l'une des racines de l'équa- 

 tion [b) satisfait à l'équation (c) , les autres y satisferont aussi. 

 Donc en nommant ;<,, î/^, //j, .... uj\, toutes les racines de 

 l'équation {b), si l'intégrale jydx peut être exprimée par la pre- 

 mière M,, elle pourra également être exprimée par les autres u,^, 

 U3, .... u/ , d'où il résulte , en ajoutant toutes ces valeurs , que 

 l'on aura 



^/, -(- «2 -+- ^<3 -*-... -t- uS 

 fydx ^ 



D'ailleurs, par la théorie des fonctions symétriques, le second 

 membre de cette dernière égalité est exprimable rationnellement 

 au moyen des coefficients de ii dans l'équation iU) ( lesquels sont 

 eux-mêmes rationnels en ^ et y). Donc la valeur àefyd.v , quand 

 elle est algébrique, se trouve égale à une fonction rationnelle de 

 a- et y , ce qu'on voulait prouver. 



