DE VALEUR ALGEBRiaUE. 143 



[23] D'après ce théorème, la valeur àejydx peut être écrite 

 ain$i : 



f[x,ij), ¥[x,ij), étant des fonctions rationnelles et entières de 

 X et y. Je vais faire voir qu'il y a, toujours un facteur rationnel 

 (pii^x;y), entier par rapport à y, et tel que le produit (^[x,y), 

 F (a-,y) devienne une simple fonction rationnelle de.r, indépen- 

 dante de y. 



En effet y est, comme on l'a vu, une des racines de l'équation 



(a) y-" — L«/^-' — .... — My — N = o, 



soient y, , y, , .... y^— 1 les autres racines. Il est évident que le 

 produit 



¥{x,y) ¥{x,y^) ¥{x,y^) .... F(.r,y^_i) 



étant une fonction symétrique des racines de féquation (a) s'ex- 

 primera rationnellement au moyen des coefficients de cette équa- 

 tion, c'est-à-dire sera une fonction rationnelle de jc, indépen- 

 dante de y. Il en résulte qu'on peut prendre pour valeur du 

 facteur cJierché, le produit ¥{x^^ Fix^y^) .... F[x,y^_i) , et 

 poser • 



<:p{x,y) - ¥{x,y,)¥{x,y^) ¥{x,y^_x). 



Cela suppose , il est vrai , que ce produit peut s'exprimer ration- 

 nellement en .r et y, et qu'en outre il ne contiendra pas 1/ en 

 dénominateur. Pour démontrer cette propriété , j'observe que la 

 quantité 



est une fonction symétiique entière de y, , yj, //^_i : 



d'après les éléments d'algèbre, elle peut donc être considérée 

 comme uiie fonction entière des sommes 



